усть ненулевые векторы линейно зависимы, тогда выберите верные утверждения (несколько вариантов): a. координаты заданных векторов пропорциональны b. сумма заданных векторов есть нулевой вектор c. заданные векторы коллинеарны d. существует такое действительное число, которое равно отношению заданных векторов

Решение:

Ненулевые векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) линейно зависимы, если один из них можно представить как произведение другого на некоторое число, то есть \( \vec{a} = k \vec{b} \) или \( \vec{b} = k \vec{a} \) для некоторого действительного числа \( k \).

Это означает, что векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых).

Рассмотрим утверждения:

• a. координаты заданных векторов пропорциональны — Это верно. Если \( \vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) \), то \( \vec{a} = k \vec{b} \) означает, что \( a_i = k b_i \) для всех \( i \). Это и есть пропорциональность координат.
• b. сумма заданных векторов есть нулевой вектор — Это не всегда верно. Например, векторы \( (1, 0) \) и \( (2, 0) \) линейно зависимы ( \( k = 2 \) ), но их сумма \( (3, 0) \) не является нулевым вектором.
• c. заданные векторы коллинеарны — Это верно. По определению линейной зависимости ненулевых векторов, они коллинеарны.
• d. существует такое действительное число, которое равно отношению заданных векторов — Это утверждение некорректно сформулировано. Правильнее сказать, что существует такое действительное число \( k \), что один вектор равен произведению другого вектора на это число. Если \( k \) существует, то оно и является отношением соответствующих координат (если координаты не равны нулю).

Ответ: a, c.