Установить, в какой четверти координатной плоскости находится точка единичной окружности, соответствующая заданному углу:

Давайте определим, в какой четверти координатной плоскости находится точка единичной окружности, соответствующая заданному углу. Вспомним, что четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой четверти. **4.** * **\(\alpha = \frac{\pi}{5}\)** * \(\frac{\pi}{5}\) радиан находится в первой четверти, так как \(0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}\). * **\(\alpha = -\frac{3\pi}{8}\)** * \(-\frac{3\pi}{8}\) радиан соответствует повороту по часовой стрелке. Поскольку \(-\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{8} < 0\), то угол находится в четвертой четверти. * **\(\alpha = \frac{31\pi}{6}\)** * \(\frac{31\pi}{6} = \frac{30\pi + \pi}{6} = 5\pi + \frac{\pi}{6}\). Угол (5\pi) соответствует двум с половиной оборотам. Таким образом, \(5\pi + \frac{\pi}{6}\) находится в третьей четверти, так как \(\pi < \pi + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}\). **5.** * **\(\alpha = -47^\circ\)** * \(-47^\circ\) соответствует повороту по часовой стрелке, и так как (-90^\circ < -47^\circ < 0^\circ\), то угол находится в четвертой четверти. * **\(\alpha = -182^\circ\)** * \(-182^\circ\) соответствует повороту по часовой стрелке, и так как (-180^\circ > -182^\circ > -270^\circ\), то угол находится в третьей четверти. * **\(\alpha = 415^\circ\)** * (415^\circ = 360^\circ + 55^\circ\). Значит, это полный оборот плюс (55^\circ\). Таким образом, угол находится в первой четверти, так как (0^\circ < 55^\circ < 90^\circ\). **6.** * **\(\alpha = 2\)** * (2) радиана. Поскольку (\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.57\) и \(\pi \approx 3.14\), то \(\frac{\pi}{2} < 2 < \pi\). Следовательно, угол находится во второй четверти. * **\(\alpha = 3.6\)** * (3.6) радиана. Поскольку \(\pi \approx 3.14\) и \(\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} \approx 4.71\), то \(\pi < 3.6 < \frac{3\pi}{2}\). Следовательно, угол находится в третьей четверти. * **\(\alpha = 12\)** * (12) радиан. Чтобы определить четверть, вычтем полные обороты: (12 - 2\pi - 2\pi \approx 12 - 2 \cdot 3.14 - 2 \cdot 3.14 = 12 - 12.56 = -0.56\). Поскольку мы вычли два полных оборота, а остаток отрицательный, нужно прибавить (2\pi) один раз. Таким образом, угол приблизительно равен (12 - 4\pi \approx 12 - 4(3.14) = 12 - 12.56 = -0.56). Тогда, \(2\pi + (12 - 4\pi) = 12 - 2\pi \approx 12 - 2(3.14) = 12 - 6.28 = 5.72\). Так как \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.71\) и \(2\pi \approx 6.28\), то \(\frac{3\pi}{2} < 5.72 < 2\pi\), следовательно, угол находится в четвертой четверти. **7.** * **\(\alpha = 1.8 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)** * Так как (k) - целое число, то (2\pi k) представляет собой целое число полных оборотов. Следовательно, четверть определяется только углом (1.8). Поскольку (\frac{\pi}{2} \approx 1.57\) и \(\pi \approx 3.14\), то \(\frac{\pi}{2} < 1.8 < \pi\). Таким образом, угол находится во второй четверти.