Установите соответствие между задачей и её ответом: Сторона прямоугольника равна 10, а его диагональ равна 26. Найдите его площадь. Диагональ квадрата равна 12. Найдите его площадь. Большее основание прямоугольной трапеции равно 32, боковые стороны равны 16 и 20. Найдите площадь трапеции.

Разберем каждую задачу по отдельности и найдем соответствующие ответы.

Задача 1: Сторона прямоугольника равна 10, а его диагональ равна 26. Найдите его площадь.

Пусть прямоугольник ABCD, где AB = CD = 10, AC = 26 (диагональ). По теореме Пифагора, BC = $$\sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$$. Площадь прямоугольника равна $$S = AB \cdot BC = 10 \cdot 24 = 240$$.

Задача 2: Диагональ квадрата равна 12. Найдите его площадь.

Пусть квадрат ABCD, диагональ AC = 12. Площадь квадрата можно найти как $$S = \frac{1}{2}d^2$$, где d - диагональ. Тогда $$S = \frac{1}{2} \cdot 12^2 = \frac{1}{2} \cdot 144 = 72$$.

Задача 3: Большее основание прямоугольной трапеции равно 32, боковые стороны равны 16 и 20. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD - большее основание (AD = 32), AB = 16, CD = 20. Проведем высоту CH на основание AD. Тогда AH = AD - HD = 32 - HD. Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, AB перпендикулярна AD, следовательно, AB = 16 - высота трапеции. Рассмотрим треугольник CHD, где CH = 16 и CD = 20. По теореме Пифагора, $$HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$$. Тогда AH = 32 - 12 = 20. Рассмотрим $$\bigtriangleup BCH$$, в котором $$BC^2 = CH^2 + BH^2$$, $$BC = \sqrt{16^2 + (32 - x)^2}$$. Если из точки C провести высоту на AD и назвать эту точку H, то AH = x, HD = 32-x. Получается прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза 20, один из катетов 16, тогда второй катет равен $$\sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$$. Отсюда меньшее основание равно 32-12 = 20. Площадь трапеции равна $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{32 + 20}{2} \cdot 16 = \frac{52}{2} \cdot 16 = 26 \cdot 16 = 416$$.

Ответ:

• Сторона прямоугольника равна 10, а его диагональ равна 26 - 240
• Диагональ квадрата равна 12 - 72
• Большее основание прямоугольной трапеции равно 32 - 416