Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $$4n + 1 (n \in N)$$. Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.

Давай разберемся с этим заданием по порядку.

1. Установление взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $$4n + 1 (n \in N)$$.

   Для того чтобы установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $$N = \{1, 2, 3, ...\}$$ и множеством чисел вида $$4n + 1$$, где $$n \in N$$, можно построить функцию, которая каждому натуральному числу $$n$$ ставит в соответствие число $$4n + 1$$. Обозначим эту функцию как $$f(n) = 4n + 1$$.

   Покажем, что эта функция действительно устанавливает взаимно однозначное соответствие:

   • Инъективность (однозначность): Если $$f(n_1) = f(n_2)$$, то $$4n_1 + 1 = 4n_2 + 1$$, следовательно, $$4n_1 = 4n_2$$, и $$n_1 = n_2$$. Это означает, что разным натуральным числам соответствуют разные числа вида $$4n + 1$$.
   • Сюръективность (отображение на все множество): Для любого числа вида $$4n + 1$$, где $$n \in N$$, существует натуральное число $$n$$, которое отображается в это число. То есть, функция покрывает все множество чисел вида $$4n + 1$$.

   Таким образом, функция $$f(n) = 4n + 1$$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида $$4n + 1$$.

2. Доказательство равномощности множеств чётных и нечётных чисел.

   Чтобы доказать, что множества чётных и нечётных чисел равномощны, нужно показать, что между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

   Обозначим множество чётных чисел как $$E = \{2, 4, 6, 8, ...\}$$ и множество нечётных чисел как $$O = \{1, 3, 5, 7, ...\}$$.

   Построим функцию $$g(n)$$, которая каждому чётному числу $$n$$ ставит в соответствие нечётное число $$n - 1$$. То есть, $$g(n) = n - 1$$, где $$n \in E$$.

   Покажем, что эта функция устанавливает взаимно однозначное соответствие:

   • Инъективность: Если $$g(n_1) = g(n_2)$$, то $$n_1 - 1 = n_2 - 1$$, следовательно, $$n_1 = n_2$$. Это означает, что разным чётным числам соответствуют разные нечётные числа.
   • Сюръективность: Для любого нечётного числа $$m \in O$$ существует чётное число $$m + 1 \in E$$, такое что $$g(m + 1) = (m + 1) - 1 = m$$. То есть, функция покрывает все множество нечётных чисел.

   Так как мы установили взаимно однозначное соответствие между множествами чётных и нечётных чисел, то эти множества равномощны.

Надеюсь, это объяснение поможет тебе понять, как решать подобные задачи!