В 1200 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. На основе данных оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 60. Приведите шаги для вычислений.

Разберем предложенные варианты ответов и выберем верный.

Первый вариант:

Число успехов распределено по закону Бернулли.

Математическое ожидание (среднее число успехов): $$M(x) = n cdot p = 1200 cdot 0.8 = 960$$

Дисперсия: $$D(x) = npq = 1200 cdot 0.8 cdot 0.2 = 192$$

Неравенство Чебышева: $$P(|m - np| < \varepsilon) \ge 1 - \frac{npq}{\varepsilon^2}$$

Подставляя числовые значения, получаем: $$P(|m - 960| < 60) \ge 1 - \frac{192}{60^2} = 1 - \frac{192}{3600} = 1 - 0.0533 = 0.9467$$

Ответ: $$p \ge 0.9467$$

Второй вариант:

Число успехов распределено по закону Бернулли.

Математическое ожидание (среднее число успехов): $$M(x) = n cdot p = 1200 cdot 0.2 = 240$$

Дисперсия: $$D(x) = npq = 1200 cdot 0.8 cdot 0.2 = 192$$

Неравенство Чебышева: $$P(|m - np| < \varepsilon) \ge 1 - \frac{npq}{\varepsilon^2}$$

Подставляя числовые значения, получаем: $$P(|m - 240| < 60) \ge 1 - \frac{192}{60^2} = 1 - \frac{192}{3600} = 1 - 0.0533 = 0.9467$$

Решение:

В первом варианте математическое ожидание рассчитано верно, как произведение числа испытаний на вероятность успеха: $$1200 \cdot 0.8 = 960$$. Во втором варианте математическое ожидание рассчитано неверно, так как $$1200 \cdot 0.2 = 240$$ - это не среднее число успехов, а среднее число неудач.

Таким образом, верным является первый вариант ответа.

Ответ: p ≥ 0,9467