В амфитеатре 29 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестнадцатом ряду 57 мест, а в двадцать пятом ряду 75 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где количество мест в рядах является членами последовательности.

Дано:

• Количество рядов: \( n = 29 \).
• \( a_{16} = 57 \) (мест в 16-м ряду).
• \( a_{25} = 75 \) (мест в 25-м ряду).

Найти:

• \( a_{29} \) (мест в последнем, 29-м ряду).

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + d(n-1) \), где \( d \) — разность прогрессии.

Также можно использовать формулу \( a_n = a_m + d(n-m) \).

Найдем разность \( d \) между 25-м и 16-м рядами:

\[ a_{25} = a_{16} + d(25 - 16) \]\[ 75 = 57 + d(9) \]\[ 75 - 57 = 9d \]\[ 18 = 9d \]\[ d = \frac{18}{9} = 2 \]

Разность прогрессии равна 2 местам. Теперь найдем количество мест в последнем, 29-м ряду, используя 25-й ряд:

\[ a_{29} = a_{25} + d(29 - 25) \]\[ a_{29} = 75 + 2(4) \]\[ a_{29} = 75 + 8 \]\[ a_{29} = 83 \]

Ответ: 83 места.