В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону (H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2), где t – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, (H_0 = 20) – начальная высота столба воды, (k = \frac{1}{50}) - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, a g - ускорение свободного падения (считайте (g=10) м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Давайте решим эту задачу по шагам. 1. Понимание условия: Нам дана формула для высоты столба воды в баке в зависимости от времени: \[H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2\] Где: - (H_0 = 20) м (начальная высота столба воды) - (k = \frac{1}{50}) (отношение площадей) - (g = 10) м/с² (ускорение свободного падения) Нам нужно найти время (t), когда в баке останется четверть первоначального объема воды, то есть (H(t) = \frac{1}{4}H_0). 2. Подстановка известных значений: Первоначальная высота (H_0 = 20), поэтому четверть от нее будет (\frac{1}{4} \cdot 20 = 5) метров. Теперь подставим все известные значения в формулу и получим уравнение: \[5 = 20 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \frac{1}{50}t + \frac{10}{2} \cdot (\frac{1}{50})^2t^2\] 3. Упрощение уравнения: Сначала упростим выражение под корнем: \[\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = \sqrt{400} = 20\] Теперь упростим уравнение: \[5 = 20 - 20 \cdot \frac{1}{50}t + 5 \cdot \frac{1}{2500}t^2\] \[5 = 20 - \frac{2}{5}t + \frac{1}{500}t^2\] 4. Преобразование уравнения к квадратному виду: Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[\frac{1}{500}t^2 - \frac{2}{5}t + 15 = 0\] Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на 500: \[t^2 - 200t + 7500 = 0\] 5. Решение квадратного уравнения: Используем квадратное уравнение для решения: \[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае (a = 1), (b = -200), (c = 7500). Подставим значения: \[t = \frac{200 \pm \sqrt{(-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7500}}{2 \cdot 1}\] \[t = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 30000}}{2}\] \[t = \frac{200 \pm \sqrt{10000}}{2}\] \[t = \frac{200 \pm 100}{2}\] 6. Нахождение корней: Получаем два возможных значения для (t): \[t_1 = \frac{200 + 100}{2} = \frac{300}{2} = 150\] \[t_2 = \frac{200 - 100}{2} = \frac{100}{2} = 50\] 7. Анализ результатов: Оба корня положительные, но нужно проверить, какой из них подходит по смыслу задачи. Подставим оба значения в исходную формулу, чтобы убедиться, что высота столба воды действительно равна 5 метрам. Для (t = 50): \[H(50) = 20 - \frac{2}{5}(50) + \frac{1}{500}(50)^2 = 20 - 20 + 5 = 5\] Для (t = 150): \[H(150) = 20 - \frac{2}{5}(150) + \frac{1}{500}(150)^2 = 20 - 60 + 45 = 5\] Оба значения подходят, но так как спрашивается время, когда впервые останется четверть объема, выбираем меньшее значение. Ответ: 50