В1. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая АМ, перпендикулярная плоскости ВСD. Найдите рас- стояния от точки М до вершин квадрата, если ВС = 8 см и АМ = 15 см. Ответ:

Пусть $$ABCD$$ - квадрат, $$AM$$ - перпендикуляр к плоскости $$ABCD$$. Дано: $$BC = 8$$ см, $$AM = 15$$ см. Требуется найти расстояния от точки $$M$$ до вершин квадрата.

Так как $$AM$$ перпендикулярна плоскости квадрата, то $$AM$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. $$AB = 8$$ см, $$AM = 15$$ см. По теореме Пифагора найдем $$BM$$:

$$BM^2 = AB^2 + AM^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$

$$BM = \sqrt{289} = 17$$ см. Аналогично $$DM = 17$$ см.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACM$$. Найдем $$AC$$ - диагональ квадрата:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$ см.

$$CM^2 = AC^2 + AM^2 = (8\sqrt{2})^2 + 15^2 = 128 + 225 = 353$$

$$CM = \sqrt{353}$$ см.

Так как $$ABCD$$ - квадрат, то $$AC = BD$$, а значит, и $$CM = BM$$

3) Длина отрезка $$AM = 15$$ см

Ответ: $$AM = 15$$ см, $$BM = DM = 17$$ см, $$CM = \sqrt{353}$$ см