В2. Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость а, параллельная ВС. Прямые ВВ, и СС, перпендикулярны плоскости а, В₁ є а, С₁ є а. Найдите ВС, если CC₁ = 4, AC₁ = √209, AB₁ = √33, ∠BAC = 60°. Ответ:

Через вершину A треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная BC. Прямые BB₁ и CC₁ перпендикулярны плоскости α, B₁ ∈ α, C₁ ∈ α. Найти BC, если CC₁ = 4, AC₁ = √209, AB₁ = √33, ∠BAC = 60°.

Рассмотрим четырехугольник BB₁C₁C. Так как BB₁ и CC₁ перпендикулярны плоскости α, то BB₁ || CC₁, значит, BB₁C₁C — трапеция. Также, так как BB₁ и CC₁ перпендикулярны плоскости α, то BB₁ и CC₁ перпендикулярны B₁C₁.

Пусть A — вершина треугольника ABC, B₁ и C₁ — проекции точек B и C на плоскость α. Тогда AB₁ = √33, AC₁ = √209, CC₁ = 4. Нужно найти BC.

Так как плоскость α параллельна BC, то B₁C₁ || BC и треугольники AB₁C₁ и ABC подобны. ∠B₁AC₁ = ∠BAC = 60°.

Применим теорему косинусов для треугольника AB₁C₁:

$$B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot AC_1 \cdot cos(60^\circ) = (\sqrt{33})^2 + (\sqrt{209})^2 - 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{209} \cdot \frac{1}{2} = 33 + 209 - \sqrt{33 \cdot 209} = 242 - \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 19} = 242 - 11\sqrt{57} $$

Треугольники ABB₁ и ACC₁ — прямоугольные. Тогда:

$$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2 = 33 + BB_1^2$$

$$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2 = 209 + 4^2 = 209 + 16 = 225$$

AC = 15

По теореме косинусов для треугольника ABC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(60^\circ) = (33 + BB_1^2) + 225 - 2 \cdot AC \cdot \sqrt{33 + BB_1^2} \cdot \frac{1}{2} = 258 + BB_1^2 - 15 \sqrt{33 + BB_1^2}$$

По условию, плоскость α параллельна BC, следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику AB₁C₁. Тогда:

$$\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}$$.

Тогда: $$\frac{\sqrt{33}}{AB} = \frac{\sqrt{209}}{15}$$.

$$AB = \frac{15\sqrt{33}}{\sqrt{209}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$$.

$$BB_1^2 = AB^2 - AB_1^2 = (\frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{19}})^2 - (\sqrt{33})^2$$

Я не могу решить это уравнение, нужен другой способ.

Ответ: Нет решения