Решение задачи 6

Пусть AB = BC = AD = a. Так как угол ABC прямой, то треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный, следовательно, угол BAC = углу BCA = 45 градусов.

Угол BAD равен 60 градусов, следовательно, угол CAD = угол BAD - угол BAC = 60 - 45 = 15 градусов.

Рассмотрим треугольник ACD. В нем AD = a, угол CAD = 15 градусов.

Проведем высоту AH на сторону CD. Тогда в прямоугольном треугольнике AHD: AH = AD * sin(15) = a * sin(15).

Так как AD = a, то CD можно найти, выразив cos(15): HD = AD * cos(15) = a * cos(15).

AC можно найти по теореме Пифагора из треугольника ABC: AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{a^2 + a^2}\) = \(a\sqrt{2}\).

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем AD = a, AC = \(a\sqrt{2}\) и угол CAD = 15 градусов. Можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти CD:

\(CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 * AC * AD * cos(15)\)

\(CD^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 - 2 * a\sqrt{2} * a * cos(15)\)

\(CD^2 = 2a^2 + a^2 - 2a^2\sqrt{2} cos(15)\)

\(CD^2 = 3a^2 - 2a^2\sqrt{2} cos(15)\)

Угол ADC можно найти, зная все стороны треугольника ACD. Однако более простой способ - заметить, что четырехугольник можно вписать в окружность.

Поскольку ABCD - вписанный четырехугольник, сумма противоположных углов равна 180 градусов. Значит, угол ADC + угол ABC = 180 градусов.

Угол ABC = 90 градусов (дано). Следовательно, угол ADC = 180 - 90 = 90 градусов.

Тогда угол ADC = 150 градусов.

Ответ: 150 градусов