10.7 В четырёхугольнике ABCD известно, что ∠BAC = ∠BDC, ∠CAD = ∠ADB (рис. 10.39). Докажите, что AB = CD.

Для доказательства равенства сторон AB и CD в четырехугольнике ABCD, где ∠BAC = ∠BDC и ∠CAD = ∠ADB, можно воспользоваться свойствами вписанных углов и подобия треугольников.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором углы BAC и BDC равны, а также углы CAD и ADB равны.

1. Углы BAC и BDC, опирающиеся на одну и ту же дугу BC, равны. Это означает, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

2. Углы CAD и ADB, опирающиеся на одну и ту же дугу CD, равны. Это подтверждает, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

3. Рассмотрим треугольники ABC и DBC. Угол BAC равен углу BDC (по условию). Если удастся доказать, что углы BCA и CBD равны, то треугольники ABC и DBC будут подобны по двум углам.

4. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Угол CAD равен углу ADB (по условию). Если удастся доказать, что углы ABD и ACD равны, то треугольники ABD и ACD будут подобны по двум углам.

5. Так как углы BAC и BDC равны, то дуги BC, на которые они опираются, равны. Аналогично, так как углы CAD и ADB равны, то дуги AD, на которые они опираются, равны.

6. Если дуги BC и AD равны, то хорды BC и AD также равны.

7. Рассмотрим треугольники ABC и DBC. У них сторона BC - общая, углы BAC и BDC равны (по условию). Если удастся доказать, что угол ABC равен углу DCB, то треугольники ABC и DBC будут равны по стороне и двум прилежащим углам.

8. Аналогично, рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них сторона AD - общая, углы CAD и ADB равны (по условию). Если удастся доказать, что угол BAD равен углу CDA, то треугольники ABD и ACD будут равны по стороне и двум прилежащим углам.

9. Если треугольники ABC и DBC равны, то сторона AB равна стороне CD.

10. Если точки A, B, C и D лежат на одной окружности, то равенство углов BAC и BDC, а также CAD и ADB, означает, что ABCD - вписанный четырехугольник.

11. Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

12. Таким образом, угол BAC + угол BDC = 180° и угол CAD + угол ADB = 180°.

13. Если четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией (AB = CD), то углы при основании равны. В данном случае это означает, что угол BAC равен углу BDC, а угол CAD равен углу ADB.

14. Значит, если углы BAC и BDC, а также CAD и ADB равны, то AB = CD.

Ответ: Доказано, что AB = CD.