В четырёхугольнике ABCD, описанном около окружности, AB = 17, CD = 25, стороны AD и BC параллельны и AD - BC = 28. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Дано: Четырехугольник ABCD, описанный около окружности, AB = 17, CD = 25, AD || BC, AD - BC = 28. Найти: Площадь четырехугольника ABCD. Решение: Так как четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны, то есть: $$AB + CD = AD + BC$$ Подставим известные значения: $$17 + 25 = AD + BC$$ $$42 = AD + BC$$ Мы знаем, что $$AD - BC = 28$$. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} AD + BC = 42 \ AD - BC = 28 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2AD = 70$$ $$AD = 35$$ Теперь найдем BC: $$BC = 42 - AD = 42 - 35 = 7$$ Таким образом, $$AD = 35$$ и $$BC = 7$$. Площадь трапеции можно найти по формуле: $$S = \frac{AD + BC}{2} * h$$, где h - высота трапеции. Также известно, что в описанной трапеции высота равна двум радиусам вписанной окружности, то есть $$h = 2r$$. В описанной трапеции средняя линия равна сумме боковых сторон, деленной на 2: $$\frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 25}{2} = 21$$. Тогда $$S = 21 * h$$. Мы знаем, что $$AD + BC = AB + CD = 42$$, следовательно, средняя линия трапеции равна 21. В описанной трапеции можно найти высоту как: $$h = \sqrt{AB * CD - (\frac{AD - BC}{2})^2} = \sqrt{17 * 25 - (\frac{35 - 7}{2})^2} = \sqrt{425 - 14^2} = \sqrt{425 - 196} = \sqrt{229}$$ Площадь трапеции ABCD: $$S = \frac{AD + BC}{2} * h = 21 * h = 21 * \sqrt{229} = 21 * 15.13 = 317.73$$ (примерно) Найдем высоту трапеции. Так как трапеция описана около окружности, то сумма противоположных сторон равна. Т.е. $$AB+CD = AD+BC$$. $$17+25 = 42 = AD+BC$$. $$AD - BC = 28$$. Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными. Складываем первое и второе уравнение: $$2AD = 70$$, откуда $$AD=35$$. $$BC = 42 - 35 = 7$$. Трапеция равнобедренная, если $$AB = CD$$. В данном случае это не так. Тогда высота $$h$$ находится по формуле: $$h = \sqrt{AB^2 - (\frac{AD - BC}{2})^2} = \sqrt{17^2 - (\frac{35 - 7}{2})^2} = \sqrt{289 - 14^2} = \sqrt{289 - 196} = \sqrt{93}$$ Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AD + BC}{2} h = \frac{35 + 7}{2} \sqrt{93} = 21\sqrt{93} \approx 202.7$$ Рассмотрим прямоугольную трапецию. В этом случае одна из боковых сторон является высотой. Допустим, $$AB$$ - высота. Тогда $$S = \frac{AD + BC}{2} AB = \frac{35 + 7}{2} 17 = 21 * 17 = 357$$ Если $$CD$$ - высота, то $$S = \frac{AD + BC}{2} CD = \frac{35 + 7}{2} 25 = 21 * 25 = 525$$ Так как $$AB + CD = AD + BC$$, то $$AD + BC = 17 + 25 = 42$$ Так как $$AD - BC = 28$$, то, складывая эти уравнения, получаем: $$2AD = 70$$, значит, $$AD = 35$$ $$BC = 42 - 35 = 7$$ Пусть $$h$$ - высота трапеции. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{AD + BC}{2} * h = \frac{35 + 7}{2} * h = 21h$$ Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны. Пусть $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, а $$c$$ и $$d$$ - боковые стороны. Тогда $$a + b = c + d$$ В нашей задаче $$AD + BC = AB + CD = 17 + 25 = 42$$ $$AD - BC = 28$$, следовательно $$AD = (42 + 28) / 2 = 35$$ и $$BC = (42 - 28) / 2 = 7$$ Опустим высоту $$BH$$ из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = (AD - BC) / 2 = (35 - 7) / 2 = 14$$. Если бы трапеция была равнобедренной. Тогда $$AB^2 = BH^2 + AH^2$$ $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 14^2} = \sqrt{289 - 196} = \sqrt{93}$$ $$S = (AD + BC) / 2 * BH = (35 + 7) / 2 * \sqrt{93} = 21 * \sqrt{93} = 21 * 9.64365 \approx 202.5166 \approx 202.5$$ Ответ: 21 \sqrt{93}