В2. Дан треугольник АВС, точка М – середина стороны АВ, точка N – середина стороны АС, S_NMBC = 120 см². Найдите S_ABC.

1. Свойство средней линии треугольника.
* MN – средняя линия треугольника ABC, так как M и N – середины сторон AB и AC соответственно.
* MN || BC и MN = 1/2 BC

2. Подобие треугольников.
* Треугольники AMN и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними (AM/AB = AN/AC = 1/2, угол A общий).
* Коэффициент подобия k = AM/AB = AN/AC = MN/BC = 1/2

3. Отношение площадей подобных треугольников.
* Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_{AMN} / S_{ABC} = k^2 = (1/2)^2 = 1/4)
* Значит, (S_{AMN} = 1/4 S_{ABC})

4. Выразим площадь трапеции NMBC через площадь треугольника ABC.
* (S_{NMBC} = S_{ABC} - S_{AMN} = S_{ABC} - 1/4 S_{ABC} = 3/4 S_{ABC})

5. Найдем площадь треугольника ABC.
* По условию (S_{NMBC} = 120) см².
* (3/4 S_{ABC} = 120)
* \(S_{ABC} = 120 \cdot 4/3 = 160\) см²

Ответ: S_ABC = 160 см²