5. В детском саду на утреннике 15 воспитанников встают в хоровод. Среди них Ваня и Таня. Какова вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом?

Решение:

Общее число способов расставить 15 детей в хоровод: (15-1)! = 14!

Рассмотрим Ваню и Таню как один объект. Тогда количество способов расставить 14 объектов в хоровод: (14-1)! = 13!

Так как Ваня и Таня могут стоять рядом двумя способами (Ваня-Таня или Таня-Ваня), то количество благоприятных исходов: 2 * 13!

Вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом:

$$P = \frac{2 \cdot 13!}{14!} = \frac{2 \cdot 13!}{14 \cdot 13!} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$$

Ответ: 1/7