4. В детском саду на утреннике 15 воспитанников встают в хоровод. Среди них Ваня и Таня. Какова вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом?

Решение:

Рассмотрим задачу о вероятности того, что Ваня и Таня окажутся рядом в хороводе из 15 воспитанников.

1. Общее количество способов расставить 15 человек в хороводе: (15-1)! = 14!
2. Рассмотрим Ваню и Таню как один объект. Тогда у нас есть 14 объектов (13 отдельных воспитанников + пара Ваня-Таня).
3. Количество способов расставить 14 объектов в хороводе: (14-1)! = 13!
4. Ваня и Таня могут стоять рядом двумя способами: Ваня-Таня или Таня-Ваня.
5. Количество благоприятных исходов (Ваня и Таня стоят рядом): 2 * 13!
6. Вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом: (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов) = (2 * 13!) / 14!
7. Упростим выражение: (2 * 13!) / 14! = (2 * 13!) / (14 * 13!) = 2/14 = 1/7.

Ответ: 1/7