6*. В два сосуда налито разное количество воды (рис. 126). В каком сосуде давление воды на дно больше и во сколько, если h₁ = 48 см, а h₂ = 14 см? Какой уровень воды установится в сосудах после того, как кран откроют, если диаметры сосудов различаются в 4 раза?

Давление на дно сосуда определяется формулой: $$p = \rho gh$$, где $$ \rho $$ - плотность воды, g - ускорение свободного падения, h - высота столба жидкости.

1) Сравнение давления:

В первом сосуде: $$ p_1 = \rho g h_1 = \rho g \cdot 48 $$ см

Во втором сосуде: $$ p_2 = \rho g h_2 = \rho g \cdot 14 $$ см

Отношение давлений: $$\frac{p_1}{p_2} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7} \approx 3.43 $$

Давление в первом сосуде больше, чем во втором, примерно в 3.43 раза.

2) Уровень воды после открытия крана:

После открытия крана вода перетечет между сосудами, и уровень воды в них выровняется. Обозначим установившийся уровень воды как h.

Пусть площадь дна первого сосуда $$ S_1 $$, а второго $$ S_2 $$. По условию, диаметры сосудов различаются в 4 раза, следовательно, площади дна будут отличаться в 4² = 16 раз: $$ S_1 = 16 S_2 $$.

Общий объем воды в обоих сосудах: $$ V = S_1 h_1 + S_2 h_2 = 16 S_2 \cdot 48 + S_2 \cdot 14 = S_2 (16 \cdot 48 + 14) = 782 S_2 $$

Общий объем после выравнивания уровня: $$ V = (S_1 + S_2) h = (16 S_2 + S_2) h = 17 S_2 h $$

Приравниваем объемы: $$ 782 S_2 = 17 S_2 h $$

$$ h = \frac{782}{17} \approx 46 $$ см

Ответ: Давление в первом сосуде больше в 3.43 раза; уровень воды после открытия крана установится на высоте примерно 46 см.