4. Используя формулу для определения давления столба жидкости $$p = \rho gh$$, докажите, что в сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями (см. рис. 123) равно обратному отношению плотностей.

Предположим, что в сообщающихся сосудах находятся две жидкости с плотностями $$\rho_1$$ и $$\rho_2$$ и высотами столбов $$h_1$$ и $$h_2$$ соответственно. Давление на одном и том же уровне в обоих сосудах должно быть одинаковым. Следовательно, давление, создаваемое первой жидкостью, равно давлению, создаваемому второй жидкостью:

$$p_1 = p_2$$

Используя формулу $$p = \rho gh$$, получаем:

$$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$$

Так как ускорение свободного падения $$g$$ одинаково для обеих жидкостей, его можно сократить:

$$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$$

Теперь выразим отношение высот столбов жидкостей:

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$

Таким образом, отношение высот столбов жидкостей в сообщающихся сосудах равно обратному отношению их плотностей.

Ответ: $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$, отношение высот столбов жидкостей равно обратному отношению их плотностей.