в) $$\frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}}+\log_8{0,2}$$

Решение:

Для вычисления значения выражения \( \frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}}+\log_8{0,2} \) будем использовать свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель первой дроби: \( 10+2\log_7{2} = 10 + \log_7{2^2} = 10 + \log_7{4} \).
2. Преобразуем знаменатель первой дроби: \( \log_7{8} = \log_7{2^3} = 3\log_7{2} \).
3. Преобразуем второе слагаемое: \( \log_8{0,2} = \log_8{\frac{1}{5}} = \log_8{5^{-1}} = -\log_8{5} \).
4. Используем формулу смены основания логарифма \( \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \) для первого слагаемого: \( \frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}} = \frac{\log_7{(10+\log_7{4})}}{\log_7{8}} \). Эта часть выглядит сложной для упрощения без дополнительных данных или возможности численного расчета.
5. Перейдём к другому подходу, используя свойства логарифмов и преобразования:

Часть 1: \( \frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}} \)

\( 10+2\log_7{2} = \log_7{7^{10}} + \log_7{2^2} = \log_7{(7^{10}
\cdot 4)} \)

\( \log_7{8} = \log_7{2^3} = 3\log_7{2} \)

Таким образом, первая часть: \( \frac{\log_7{(7^{10}
\cdot 4)}}{3\log_7{2}} \). Это не приводит к простому числовому ответу без калькулятора.

Часть 2: \( \log_8{0,2} \)

\( \log_8{0,2} = \log_8{\frac{1}{5}} = \log_{2^3}{\frac{1}{5}} \)

Используем свойство \( \log_{a^m}{b} = \frac{1}{m}\log_a{b} \): \( \log_8{0,2} = \frac{1}{3}\log_2{\frac{1}{5}} = \frac{1}{3}(\log_2{1} - \log_2{5}) = \frac{1}{3}(0 - \log_2{5}) = -\frac{1}{3}\log_2{5} \).

Пересмотр первой части:

\( \frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}} \)

Если предположить, что в числителе было \( \log_7{(10
\cdot 2^2)} \) или \( \log_7{(7^{10}
\cdot 2^2)} \), это не решает проблему.

Альтернативный подход к первой части, если предположить опечатку в условии:

Если бы в числителе было \( \log_7{(7^{10}
\cdot 2^2)} \), то \( \frac{\log_7{(7^{10}
\cdot 4)}}{3\log_7{2}} \). Это не упрощается.

Давайте предположим, что условие верно и попробуем преобразовать числитель, возможно, используя \( 10 = \log_7{7^{10}} \).

\( \frac{\log_7{( \log_7{7^{10}} + \log_7{2^2} )}}{\log_7{8}} = \frac{\log_7{(\log_7{7^{10} \cdot 2^2})}}{\log_7{8}} = \frac{\log_7{(\log_7{4900000000})}}{\log_7{8}} \). Это также не упрощается.

Рассмотрим случай, когда основание логарифма в числителе и знаменателе совпадает, и попробуем использовать свойство \( \log_a{b} = c \Leftrightarrow a^c = b \).

\( \frac{\log_7{10+2\log_7{2}}}{\log_7{8}} = \frac{\log_7{(10+\log_7{4})}}{3\log_7{2}} \)

Если предположить, что в числителе было \( \log_7{10} + 2\log_7{2} \) и это \( \log_7{(10
\cdot 2^2)} = \log_7{40} \).

Тогда первая часть: \( \frac{\log_7{40}}{\log_7{8}} \). Используя смену основания \( \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} = \log_b{a} \), получим \( \log_8{40} \).

Теперь подставим это во всё выражение: \( \log_8{40} + \log_8{0,2} \)

Используем свойство \( \log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(b
\cdot c)} \):

\[ \(\log\)_8{40} + \(\log\)_8{0,2} = \(\log\)_8{(40
\(\cdot\) 0,2)} \)

\[ 40
\(\cdot\) 0,2 = 40
\(\cdot\) \(\frac{2}{10}\) = 40
\(\cdot\) \(\frac{1}{5}\) = 8 \)

Таким образом, выражение становится:

\[ \(\log\)_8{8} \)

\[ \(\log\)_8{8} = 1 \)

Примечание: Предполагается, что в числителе было \( \log_7{10} + 2\log_7{2} \) вместо \( \log_7{10+2\log_7{2}} \), так как исходное условие не позволяет получить простое числовое решение.

Проверка с исходным условием: \( \log_7{10+2\log_7{2}} = \log_7{(10 + \log_7{4})} \). Число \( 10 \) не является логарифмом по основанию \( 7 \) с аргументом, который бы легко упростился с \( \log_7{4} \).

Принимая во внимание, что в подобных заданиях обычно подразумевается упрощаемое выражение, мы используем наиболее вероятную трактовку.

Ответ: 1.