В футбольном турнире участвуют 30 команд. Главный судья подводит промежуточные результаты и сообщает, что девять команд уже сыграли с тремя командами, десять команд – с пятью и одиннадцать команд – с четырьмя. Прав ли судья? Ответ обоснуйте.

Задание 11

Задача: Определить, прав ли судья, утверждающий, что 9 команд сыграли с 3, 10 команд с 5, и 11 команд с 4, при общем числе команд в 30.

Решение:

1. В футбольном турнире каждая сыгранная игра — это связь между двумя командами.
2. Сумма количества игр, сыгранных каждой командой, должна быть равна удвоенному количеству всех игр в турнире (поскольку каждая игра учитывается дважды: один раз для каждой из двух команд, участвующих в ней).
3. Обозначим количество команд, сыгравших 3 игры, как \( N_3 = 9 \).
4. Обозначим количество команд, сыгравших 5 игр, как \( N_5 = 10 \).
5. Обозначим количество команд, сыгравших 4 игры, как \( N_4 = 11 \).
6. Общее число команд, о которых говорит судья: \( 9 + 10 + 11 = 30 \). Это соответствует общему числу команд в турнире.
7. Посчитаем общую сумму игр, сыгранных этими командами, согласно утверждению судьи: \( S = (9 imes 3) + (10 imes 5) + (11 imes 4) \)
8. \( S = 27 + 50 + 44 \)
9. \( S = 121 \)

Обоснование:

Сумма количества игр, сыгранных всеми командами, должна быть четным числом (так как она равна \( 2 imes \text{число игр} \)). В данном случае, сумма равна 121, что является нечетным числом. Следовательно, такое распределение сыгранных игр невозможно.

Вывод: Судья не прав.

Ответ: Нет, судья не прав, так как общая сумма сыгранных матчей (121) не может быть нечетной.