3. В графе 12 рёбер, а каждая вершина имеет индекс 3. Сколько у него вершин? Нарисуйте такой граф.

Давайте решим задачу. 1. Понимание условия: * Граф - это структура, состоящая из вершин (узлов) и рёбер (линий, соединяющих вершины). * Индекс вершины (или степень вершины) - это количество рёбер, инцидентных этой вершине (то есть, сколько рёбер выходит из этой вершины). * Нам дан граф, в котором 12 рёбер, и каждая вершина имеет индекс 3. * Нужно найти количество вершин в этом графе. 2. Применение формулы: Существует связь между количеством рёбер и суммой индексов всех вершин в графе. Эта связь выражается формулой: $$\sum_{i=1}^{n} deg(v_i) = 2E$$ где: * $$\sum_{i=1}^{n} deg(v_i)$$ - сумма степеней (индексов) всех $$n$$ вершин графа * $$E$$ - количество рёбер в графе В нашем случае, мы знаем, что все вершины имеют индекс 3, то есть $$deg(v_i) = 3$$ для каждой вершины. Пусть $$n$$ - количество вершин. Тогда сумма индексов всех вершин равна $$3n$$. Также нам известно, что количество рёбер $$E = 12$$. Подставляем в формулу: $$3n = 2 * 12$$ $$3n = 24$$ 3. Решение уравнения: Чтобы найти $$n$$, разделим обе части уравнения на 3: $$n = \frac{24}{3}$$ $$n = 8$$ Следовательно, в графе 8 вершин. 4. Рисунок графа: Для выполнения этого задания нужно нарисовать граф с 8 вершинами, где каждая вершина имеет степень 3. Один из возможных вариантов - два полных графа $$K_4$$, соединенных ребром. $$K_4$$ это полный граф с четырьмя вершинами. Это означает, что каждая вершина соединена со всеми остальными. Чтобы построить такой граф: * Нарисуйте два отдельных полных графа, каждый с четырьмя вершинами (A, B, C, D и E, F, G, H). * Соедините один из вершин первого графа (например, A) с вершиной из второго графа (например, E). Тогда у вас будет 8 вершин, и если посчитать количество ребер, получится 12 (6 ребер в каждом полном графе, минус 1 ребро, убранное из полных графов, чтобы соединить их и 1 соединительное ребро: 6 + 6 - 1 + 1 = 12). Каждая вершина имеет степень 3. Ответ: В графе 8 вершин.