В группе 21 человек, среди них — Иван и Елена. Группу случайным образом делят на 3 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Иван и Елена окажутся в одной подгруппе.

Решение:

1. Определим размер подгруппы:

Всего человек: 21.

Количество подгрупп: 3.

Размер каждой подгруппы: \( 21 \div 3 = 7 \) человек.

2. Определим общее число способов распределить Ивана и Елену по подгруппам:

Ивана можно распределить в любую из 3 подгрупп. После того, как Иван распределён, остаётся 20 человек. Елену можно распределить в любую из оставшихся 3 подгрупп.

3. Определим число способов, при которых Иван и Елена окажутся в одной подгруппе:

Пусть Иван попал в подгруппу №1. Тогда в этой подгруппе есть ещё \( 7 - 1 = 6 \) мест.

Число способов распределить Елену в подгруппу №1 (вместе с Иваном) равно 6.

4. Рассчитаем вероятность:

Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов)

Сначала определим, сколько всего существует способов распределить 21 человека по 3 подгруппам по 7 человек. Это можно сделать так: выберем 7 человек для первой подгруппы \( C_{21}^7 \), затем 7 для второй \( C_{14}^7 \), и оставшиеся 7 для третьей \( C_{7}^7 \). Поскольку порядок подгрупп не важен, мы делим на \( 3! \).

\( N = \frac{C_{21}^7 \times C_{14}^7 \times C_{7}^7}{3!} \)

Теперь рассмотрим благоприятные исходы, где Иван и Елена в одной подгруппе. Пусть они в подгруппе №1. Тогда нам нужно выбрать ещё 5 человек из оставшихся 19 для этой подгруппы \( C_{19}^5 \). Затем оставшихся 14 человек делим на 2 подгруппы по 7 человек: \( C_{14}^7 \times C_{7}^7 \).

\( M = C_{19}^5 \times C_{14}^7 \times C_{7}^7 \)

Упростим задачу: Представим, что мы просто выбираем команду для Ивана. Всего есть 20 других людей. Из них 6 должны попасть в команду Ивана, чтобы они оказались в одной подгруппе. Вероятность того, что Елена окажется среди этих 6 человек, равна \( 6 / 20 = 3 / 10 \).

Альтернативный способ (проще):

Представим, что Иван уже находится в какой-то подгруппе. Осталось 20 человек. В его подгруппе есть ещё \( 7 - 1 = 6 \) свободных мест.

Вероятность того, что Елена займёт одно из этих 6 мест, равна: \( P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \).

Ответ: 3/10