В группе учатся 20 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по истории и 10 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по русскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта.

1. Так как всего студентов 20, то x не может быть меньше, чем 15 + 10 − 20 = 5. Значит, хотя бы 5 студентов сдали оба зачёта. Утверждение истинно.
2. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно 20 − (15 + 10 − x) = x − 5. Поскольку x может быть не больше 10, это число не превышает 5. Утверждение ложно.
3. Число студентов, сдавших оба зачёта, не превышает 10, поэтому оно меньше 11. Утверждение истинно.
4. Число студентов, сдавших русский язык, но не сдавших историю, равно 10 − x, а x не меньше 5. Поэтому это число не больше 5, а не 10. Утверждение ложно.

Ответ: 1, 3.