В группе учатся 30 студентов, из них 25 человек сдали зачёт по высшей математике, и 20 — зачёт по философии. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Каждый студент этой группы сдал оба зачёта. 2) Менее 22 студентов из этой группы сдали зачёты и по высшей математике, и по философии. 3) Хотя бы 15 студентов из этой группы сдали зачёты и по высшей математике, и по философии. 4) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.

Обозначим число студентов, сдавших оба зачёта, через x. По принципу включения-исключения:

x ≥ 25 + 20 − 30 = 15, а также x ≤ 20. Значит, 15 ≤ x ≤ 20.

1. Неверно: из данных не следует, что оба зачёта сдали все 30 студентов.
2. Верно: число сдавших оба зачёта не больше 20, а значит, меньше 22.
3. Верно: таких студентов не меньше 15.
4. Неверно: число не сдавших ни одного зачёта равно 30 − (25 + 20 − x) = x − 15 и может быть от 0 до 5, но не 6.

Ответ: 2, 3.