В ходе распада радиоактивного изотопа его масса m (в мг) уменьшается по закону $$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}},$$ где $$m_0$$ – начальная масса изотопа (в мг), $$\tau$$ – время (в минутах), прошедшее от начала начального момента, $$T$$ – период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна 100 мг. Период его полураспада составляет 2 минуты. Найдите через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

Давайте решим эту задачу по шагам. Нам дана формула для расчета массы радиоактивного изотопа в зависимости от времени:

$$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}},$$

где:

• $$m$$ - масса изотопа в момент времени $$\tau$$ (в мг)
• $$m_0$$ - начальная масса изотопа (в мг)
• $$\tau$$ - время, прошедшее от начального момента (в минутах)
• $$T$$ - период полураспада (в минутах)

Нам известны следующие значения:

• $$m_0 = 100$$ мг (начальная масса)
• $$T = 2$$ минуты (период полураспада)
• $$m = 12.5$$ мг (конечная масса)

Необходимо найти $$\tau$$ (время, через которое масса изотопа станет равна 12.5 мг).

Подставим известные значения в формулу:

$$12.5 = 100 \cdot 2^{-\frac{\tau}{2}}$$

Теперь решим это уравнение относительно $$\tau$$. Сначала разделим обе части уравнения на 100:

$$\frac{12.5}{100} = 2^{-\frac{\tau}{2}}$$ $$0.125 = 2^{-\frac{\tau}{2}}$$

Заметим, что $$0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$$. Тогда:

$$2^{-3} = 2^{-\frac{\tau}{2}}$$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$$-3 = -\frac{\tau}{2}$$

Умножим обе части уравнения на -2:

$$6 = \tau$$

Итак, $$\tau = 6$$ минут.

Ответ: 6