В институте 9500 студентов. Каждый изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или французский. Английский язык изучают 70% студентов, а 40% - французский. Сколько студентов изучают оба языка?

Пусть (A) - множество студентов, изучающих английский язык, а (F) - множество студентов, изучающих французский язык.

Общее количество студентов: $$N = 9500$$.

Количество студентов, изучающих английский язык: $$n(A) = 0.7 cdot 9500 = 6650$$.

Количество студентов, изучающих французский язык: $$n(F) = 0.4 cdot 9500 = 3800$$.

Количество студентов, изучающих хотя бы один язык: $$n(A cup F) = N = 9500$$.

Используем формулу для количества элементов в объединении двух множеств: $$n(A cup F) = n(A) + n(F) - n(A cap F)$$, где (n(A cap F)) - количество студентов, изучающих оба языка.

Подставляем известные значения: $$9500 = 6650 + 3800 - n(A cap F)$$.

Решаем уравнение относительно (n(A cap F)): $$n(A cap F) = 6650 + 3800 - 9500 = 10450 - 9500 = 950$$.

Следовательно, оба языка изучают 950 студентов.