Для определения слитного написания предлогов, необходимо рассмотреть каждый вариант:
- (не) смотря на погоду – "не смотря" пишется раздельно, так как это деепричастие с частицей "не".
- (за) счет усердия – предлог "за счет" пишется раздельно.
- (в) течение года – предлог "в течение" пишется раздельно.
- (из) за помарок – предлог "из-за" пишется через дефис.
Ни один из предложенных вариантов не пишется слитно.
Ответ: нет верного варианта