8. В комнате собрались те, кто всегда говорит правду, и те, кто всегда лжёт. Людей, говорящих правду, на 10 больше, чем лжецов. Каждый находящийся в комнате ответил на вопрос: «Вы - тот, кто говорит правду?». Всего 20 человек ответили «да». Сколько лжецов находится в комнате?

Пусть $$x$$ - количество лжецов. Тогда количество говорящих правду равно $$x + 10$$. Общее количество людей в комнате равно $$x + (x + 10)$$. Лжецы всегда лгут, поэтому они ответят «да», что они не говорят правду. Говорящие правду всегда говорят правду, поэтому они ответят «да», что они говорят правду. Таким образом, количество ответов «да» равно количеству говорящих правду, то есть $$x + 10$$. По условию, 20 человек ответили «да». Значит, $$x + 10 = 20$$. Отсюда $$x = 20 - 10 = 10$$. Количество людей, говорящих правду, равно 20. Общее количество людей в комнате будет $$10 + 20 = 30$$. Но это не соответствует условию, что $$x + (x + 10)$$ должно быть количеством людей в комнате. Поэтому нужно рассуждать иначе. Раз 20 человек ответили "да", значит правдивых людей 20. А так как правдивых на 10 больше, чем лжецов, то $$20 = x + 10$$, где $$x$$ - количество лжецов. Отсюда $$x = 20 - 10 = 10$$. Но по условию, всего 20 человек ответили "да", а не всего 20 человек в комнате. Поскольку лжецы всегда лгут, а говорящие правду всегда говорят правду, то количество ответов "да" равно количеству говорящих правду. Значит, в комнате 20 говорящих правду. Лжецов на 10 меньше, то есть $$20 - 10 = 10$$ лжецов. Не сходится. Пусть лжецов $$x$$, тогда правдивых $$x + 10$$. Каждый правдивый скажет "да", каждый лжец скажет "нет". Всего $$x + x + 10$$ людей. Правдивых людей - 20 (они говорят "да"), лжецов $$20 - 10 = 10$$. $$10 + 20 = 30$$ всего людей, но это нигде не сказано. Каждый, кто говорит правду скажет правду, т.е. "да". Каждый лжец солжет, т.е. скажет "да", если будет врать, и "нет", если будет говорить правду. Сказано, что каждый ответил на вопрос "вы тот, кто говорит правду?", и 20 человек ответили "да". Пусть правдивых $$x$$, тогда лжецов $$y$$. $$x = y + 10$$. Правда всегда скажет правду и ответит "да". Лжец всегда солжет и ответит "нет", если он тот, кто говорит правду, а должен сказать "да", значит он скажет "да". Получается что правдивые + лжецы (с ответом "да") = 20. Количество лжецов не может быть 15. Предположим что лжецов 5. Тогда правдивых 15. Итого 20 человек. Каждый правдивый ответит "да". Тогда 15 правдивых ответят "да", а 5 лжецов, если будут лгать, тоже скажут "да". Значит, лжецы должны ответить "нет", значит 5 лжецов $$20 - 15 = 5$$. Пусть лжецов x. Тогда $$20 - x$$ людей говорят правду. Говорящих правду на 10 больше. $$(20 - x) - x = 10 \implies 20 - 2x = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$ Ответ: (Б) 5