В конус вписана правильная четырёхугольная пирамида. Образующая конуса равна 3 см. Образующая с плоскостью основания составляет угол $$\beta$$. Вычисли объем конуса.

Чтобы решить задачу, нам нужно вспомнить формулу объема конуса и выразить радиус основания и высоту конуса через заданный угол $$\beta$$ и образующую. Обозначим: * $$l$$ - образующая конуса, $$l = 3$$ см. * $$r$$ - радиус основания конуса. * $$h$$ - высота конуса. * $$\beta$$ - угол между образующей и плоскостью основания. * $$V$$ - объем конуса. 1. Выразим радиус основания и высоту конуса через образующую и угол $$\beta$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $$h$$, радиусом основания $$r$$ и образующей $$l$$. Угол между образующей и радиусом равен $$\beta$$. Тогда: $$h = l \cdot sin(\beta) = 3 \sin(\beta)$$ $$r = l \cdot cos(\beta) = 3 \cos(\beta)$$ 2. Вспомним формулу объема конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ 3. Подставим выражения для $$r$$ и $$h$$ в формулу объема: $$V = \frac{1}{3} \pi (3 \cos(\beta))^2 (3 \sin(\beta))$$ $$V = \frac{1}{3} \pi (9 \cos^2(\beta)) (3 \sin(\beta))$$ $$V = 9 \pi \cos^2(\beta) \sin(\beta)$$ Таким образом, объем конуса равен $$9 \pi \cos^2(\beta) \sin(\beta)$$ кубических сантиметров. Ответ: 9