В коробке под классной доской лежат 5 красных и 5 синих маркеров. Ваня выбирает по очереди два случайных маркера. Рассмотрим события А «первый маркер красный» и В «второй маркер синий». а) Являются ли события А и В в этом опыте независимыми? б) Изобразите подходящее дерево этого случайного опыта и найдите вероятность события С «выбранные маркеры оказались одного цвета».

Привет! Давай разберемся с этими маркерами.

а) Независимость событий А и В:

Событие А: первый маркер красный.

Событие В: второй маркер синий.

Всего у нас 5 красных (К) и 5 синих (С) маркеров, всего 10.

Вероятность события А (первый маркер красный):

$$P(A) = \frac{\text{количество красных}}{\text{общее количество}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Вероятность события В (второй маркер синий), если первый был красный:

Если первый маркер был красный, то в коробке осталось 4 красных и 5 синих маркеров, всего 9.

$$P(B|A) = \frac{\text{количество синих}}{\text{общее количество оставшихся}} = \frac{5}{9}$$

Вероятность события В (второй маркер синий), если первый был не красный (то есть синий):

Если первый маркер был синий, то в коробке осталось 5 красных и 4 синих маркеров, всего 9.

$$P(B|\bar{A}) = \frac{\text{количество синих}}{\text{общее количество оставшихся}} = \frac{4}{9}$$

Теперь найдем общую вероятность события В. Она зависит от того, какой маркер был выбран первым.

$$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$$

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}$$

$$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B|\bar{A}) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$

$$P(B) = \frac{5}{18} + \frac{4}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$

Сравниваем $$P(B)$$ и $$P(B|A)$$: $$P(B) = \frac{1}{2}$$, а $$P(B|A) = \frac{5}{9}$$.

Так как $$\frac{1}{2}
eq \frac{5}{9}$$, то события А и В независимые.

б) Дерево случайного опыта и вероятность события С.

Дерево опыта:

Начало (S) → Первый маркер → Второй маркер

• Первый маркер:
• Красный (К) с вероятностью $$P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
• Синий (С) с вероятностью $$P(\bar{A}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
• Второй маркер (зависит от первого):
• Если первый был Красный (К):
• Второй Красный (К) с вероятностью $$P(K_2|K_1) = \frac{4}{9}$$ (осталось 4 красных из 9)
• Второй Синий (С) с вероятностью $$P(C_2|K_1) = \frac{5}{9}$$ (осталось 5 синих из 9)
• Если первый был Синий (С):
• Второй Красный (К) с вероятностью $$P(K_2|C_1) = \frac{5}{9}$$ (осталось 5 красных из 9)
• Второй Синий (С) с вероятностью $$P(C_2|C_1) = \frac{4}{9}$$ (осталось 4 синих из 9)

Пути в дереве:

• К - К: $$P(K_1 \cap K_2) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$
• К - С: $$P(K_1 \cap C_2) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}$$
• С - К: $$P(C_1 \cap K_2) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}$$
• С - С: $$P(C_1 \cap C_2) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$$

Вероятность события С «выбранные маркеры оказались одного цвета»:

Событие C происходит, если оба маркера красные (К-К) ИЛИ оба маркера синие (С-С).

$$P(C) = P(K_1 \cap K_2) + P(C_1 \cap C_2)$$

$$P(C) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$$

Ответ:

а) Нет, события А и В не являются независимыми, так как вероятность выбора второго маркера зависит от цвета первого.

б) Вероятность события С равна $$\frac{4}{9}$$.