16. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков подарил открытки девочкам из кружка (каждый - хотя бы одну). Оказалось, что каждая девочка получила ровно одну от- крытку, а любые два мальчика подарили разное число открыток. Ка- кое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке? (A) 3 (Б) 4 (B) 5 (Г) 9 (Д) 10

Пусть (m) - количество мальчиков, а (d) - количество девочек. Тогда (m + d = 19). Так как каждая девочка получила ровно одну открытку, и каждый мальчик подарил хотя бы одну открытку, то число мальчиков должно быть не меньше числа девочек. Кроме того, любые два мальчика подарили разное число открыток. Минимальное число открыток, которое мог подарить первый мальчик - 1, второй - 2, третий - 3 и т.д. Таким образом, общее число открыток, подаренных мальчиками равно сумме чисел от 1 до m. Общее число открыток также равно числу девочек, так как каждая девочка получила ровно одну открытку. Таким образом, сумма чисел от 1 до m должна равняться числу девочек d. Сумма чисел от 1 до m равна (m(m+1)/2), то есть (d = m(m+1)/2). Так как (m + d = 19), то (m + m(m+1)/2 = 19). Умножаем обе части на 2: (2m + m(m+1) = 38), (2m + m^2 + m = 38), (m^2 + 3m - 38 = 0). Квадратное уравнение. Из условия задачи, m - целое число. Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Дискриминант: (D = 3^2 - 4(1)(-38) = 9 + 152 = 161). Так как корень из 161 - не целое число, то точных значений m мы не получим. Подберём значения m. 1. m = 3 -> 3(3+1)/2 = 6; 3 + 6 = 9 (не подходит) 2. m = 4 -> 4(4+1)/2 = 10; 4 + 10 = 14 (не подходит) 3. m = 5 -> 5(5+1)/2 = 15; 5 + 15 = 20 (близко) 4. Если мальчиков 10, то девочки не может быть. Но если мальчиков 6? 6(6+1)/2 = 21, 6 + 21 не равно 19 Если всего 19 учеников, и каждый мальчик подарил разное число открыток, при этом каждая девочка получила ровно одну открытку, то мы подбираем число мальчиков, чтобы их сумма не превышала 19. 1+2+3+4+5 = 15, 19-5 = 14 больше одной открытки. 1+2+3+4=10, 19-4=15 больше одной открытки. Предположим, что 5 мальчиков. Они подарили 1, 2, 3, 4, 5 открыток соответственно. Значит, 1+2+3+4+5 = 15 открыток всего. Тогда девочек 19-5 = 14, но 14 больше 5. Ответ: (В) 5