В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найди угол между прямыми BB₁ и A₁C.

Пусть ребро куба равно \(a\). Зададим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(A_1(0,0,a)\), \(B_1(a,0,a)\).

1. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,a)\), \(\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a)\).
2. Используем формулу косинуса угла между прямыми: \(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{BB_1}\cdot\overrightarrow{A_1C}|}{|\overrightarrow{BB_1}|\,|\overrightarrow{A_1C}|}=\dfrac{a^2}{a\cdot a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
3. Следовательно, \(\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).