В квадрате случайным образом выбрана точка. Найдите вероятность того, что точка принадлежит вписанному в этот квадрат ромбу, вершины которого являются серединами сторон данного квадрата.

Обозначим сторону квадрата через a. Диагонали вписанного ромба соединяют середины противоположных сторон квадрата, поэтому каждая диагональ равна a.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(S_{\text{ромба}}=\frac{a\cdot a}{2}=\frac{a^2}{2}\). Площадь квадрата равна \(S_{\text{квадрата}}=a^2\).

Вероятность равна отношению площади ромба к площади квадрата: \(P=\frac{S_{\text{ромба}}}{S_{\text{квадрата}}}=\frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\).