В магазине имеются в продаже яблоки, апельсины, груши и мандарины. Сколькими способами можно образовать набор из 12 фруктов?

Считаем, что в наборе важны виды и количество фруктов каждого вида, а фруктов каждого вида можно взять сколько угодно. Обозначим количества яблок, апельсинов, груш и мандаринов через \(a,b,c,d\). Нужно найти число неотрицательных целочисленных решений уравнения \(a+b+c+d=12\).

Расположим 12 фруктов в ряд и разделим их на 4 группы тремя перегородками. Число способов расставить 3 перегородки среди 12 фруктов и 3 промежутков равно \(\binom{15}{3}=\frac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=455\). Пустая группа соответствует отсутствию фруктов данного вида.

Ответ: 455 способов.