Пусть цена первого йогурта (x), а цена второго йогурта (y). Из условия задачи мы знаем, что миллионер может купить 12 бутылок первого йогурта и 5 бутылок второго йогурта. Обозначим миллион рублей как (M).
Тогда мы можем записать следующее неравенство:
$$12x + 5y \le M$$Нам нужно доказать, что миллионер сможет купить 10 бутылок первого йогурта и 7 бутылок второго йогурта. То есть, нужно доказать, что:
$$10x + 7y \le M$$Умножим первое неравенство на 2:
$$24x + 10y \le 2M$$А второе неравенство умножим на 2.4:
$$24x + 16.8y \le 2.4M$$Теперь выразим (x) из первого неравенства:
$$12x \le M - 5y$$ $$x \le \frac{M - 5y}{12}$$Подставим это выражение во второе неравенство:
$$10 \cdot \frac{M - 5y}{12} + 7y \le M$$ $$\frac{10M - 50y}{12} + 7y \le M$$ $$10M - 50y + 84y \le 12M$$ $$34y \le 2M$$ $$y \le \frac{2M}{34}$$ $$y \le \frac{M}{17}$$Теперь вернемся к первому неравенству и выразим (y):
$$5y \le M - 12x$$ $$y \le \frac{M - 12x}{5}$$Теперь подставим это выражение во второе неравенство:
$$10x + 7 \cdot \frac{M - 12x}{5} \le M$$ $$50x + 7M - 84x \le 5M$$ $$-34x \le -2M$$ $$x \ge \frac{2M}{34}$$ $$x \ge \frac{M}{17}$$Разделим первое неравенство на 12 и второе на 5, получим:
$$x+\frac{5}{12}y \le \frac{M}{12}$$ $$y+\frac{12}{5}x \le \frac{M}{5}$$Возьмем первое неравенство в количестве 10 штук и второе в количестве 7 штук:
$$10x+\frac{50}{12}y \le \frac{10M}{12}$$ $$7y+\frac{84}{5}x \le \frac{7M}{5}$$Складываем два последних неравенства:
$$10x+7y+(\frac{50}{12}y+\frac{84}{5}x) \le \frac{10M}{12}+\frac{7M}{5}$$ $$10x+7y+(\frac{250+1008}{60}) \le \frac{50M+84M}{60}$$ $$10x+7y+(\frac{1258}{60}x) \le \frac{134M}{60}$$ $$10x+7y+(\frac{629}{30}x) \le \frac{67M}{30}$$ $$10x+7y \le M$$Поскольку (\frac{629}{30} > 1), то миллионер сможет купить 10 бутылок первого йогурта и 7 бутылок второго йогурта.
Что и требовалось доказать.