Вопрос:

В магазине продаются много видов йогуртов, каждый по своей цене. Известно, что любой покупатель, у которого в кармане миллион рублей, сможет купить 12 бутылок любого йогурта и пять бутылок любого другого йогурта в придачу. Докажите, что любой миллионер сможет купить десять бутылок любого йогурта и семь бутылок любого другого йогурта в придачу.

Ответ:

Пусть цена первого йогурта (x), а цена второго йогурта (y). Из условия задачи мы знаем, что миллионер может купить 12 бутылок первого йогурта и 5 бутылок второго йогурта. Обозначим миллион рублей как (M).

Тогда мы можем записать следующее неравенство:

$$12x + 5y \le M$$

Нам нужно доказать, что миллионер сможет купить 10 бутылок первого йогурта и 7 бутылок второго йогурта. То есть, нужно доказать, что:

$$10x + 7y \le M$$

Умножим первое неравенство на 2:

$$24x + 10y \le 2M$$

А второе неравенство умножим на 2.4:

$$24x + 16.8y \le 2.4M$$

Теперь выразим (x) из первого неравенства:

$$12x \le M - 5y$$

$$x \le \frac{M - 5y}{12}$$

Подставим это выражение во второе неравенство:

$$10 \cdot \frac{M - 5y}{12} + 7y \le M$$

$$\frac{10M - 50y}{12} + 7y \le M$$

$$10M - 50y + 84y \le 12M$$

$$34y \le 2M$$

$$y \le \frac{2M}{34}$$

$$y \le \frac{M}{17}$$

Теперь вернемся к первому неравенству и выразим (y):

$$5y \le M - 12x$$

$$y \le \frac{M - 12x}{5}$$

Теперь подставим это выражение во второе неравенство:

$$10x + 7 \cdot \frac{M - 12x}{5} \le M$$

$$50x + 7M - 84x \le 5M$$

$$-34x \le -2M$$

$$x \ge \frac{2M}{34}$$

$$x \ge \frac{M}{17}$$

Разделим первое неравенство на 12 и второе на 5, получим:

$$x+\frac{5}{12}y \le \frac{M}{12}$$ $$y+\frac{12}{5}x \le \frac{M}{5}$$

Возьмем первое неравенство в количестве 10 штук и второе в количестве 7 штук:

$$10x+\frac{50}{12}y \le \frac{10M}{12}$$ $$7y+\frac{84}{5}x \le \frac{7M}{5}$$

Складываем два последних неравенства:

$$10x+7y+(\frac{50}{12}y+\frac{84}{5}x) \le \frac{10M}{12}+\frac{7M}{5}$$ $$10x+7y+(\frac{250+1008}{60}) \le \frac{50M+84M}{60}$$ $$10x+7y+(\frac{1258}{60}x) \le \frac{134M}{60}$$ $$10x+7y+(\frac{629}{30}x) \le \frac{67M}{30}$$ $$10x+7y \le M$$

Поскольку (\frac{629}{30} > 1), то миллионер сможет купить 10 бутылок первого йогурта и 7 бутылок второго йогурта.

Что и требовалось доказать.

Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие