125. В Москве коммунальные службы ежегодно ремонтируют покрытие газонов из-за протоптанных через них тропинок. Такие тропинки часто возникают там, где пешеходные дорожки поворачивают под прямым углом. Пешеходы стремятся сократить маршрут (см. рисунок). Докажите, не прибегая к измерениям, что путь по синей стрелке короче, чем по чёрной.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту интересную задачу, используя наши знания геометрии и логику, не прибегая к измерениям. Предположим, у нас есть квадратный участок газона, и пешеходные дорожки проходят по двум его сторонам, образуя прямой угол. Пешеходы хотят пройти из одного угла квадрата в противоположный. У них есть два варианта: 1. Идти по дорожкам, образующим стороны квадрата (чёрный путь). 2. Идти напрямую через газон (синий путь). Наша задача – доказать, что путь через газон короче, чем путь по дорожкам, не измеряя ничего. Для этого представим, что наш квадрат – это часть большего квадрата, состоящего из четырёх одинаковых квадратов, как показано ниже. (Замените "https://i.imgur.com/your_image_url.png" на фактический URL-адрес картинки, если она есть). Теперь давайте подумаем о длине пути. Если мы рассматриваем большой квадрат, то путь по сторонам маленького квадрата (чёрный путь) равен двум сторонам этого квадрата. А путь через газон (синий путь) – это диагональ этого квадрата. Важно понять, что если мы сложим две стороны маленького квадрата, то получим длину, равную двум сторонам. А если мы сравним это с длиной диагонали, то увидим, что диагональ всегда короче, чем сумма двух сторон, образующих прямой угол. Это можно представить так: $$a + b > c$$ , где a и b - стороны квадрата, a c - его диагональ. Доказать это можно, используя неравенство треугольника. Если у нас есть треугольник, сумма длин любых двух его сторон всегда больше длины третьей стороны. В нашем случае, если мы рассматриваем половину квадрата, то есть прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами и диагональю, это правило будет выполняться. Следовательно, путь по синей стрелке (диагональ квадрата) всегда короче, чем путь по чёрным дорожкам (две стороны квадрата). Вывод: Путь по синей стрелке короче, чем путь по чёрной дорожке, потому что диагональ квадрата всегда короче, чем сумма длин двух его сторон. Надеюсь, это объяснение понятно и поможет вам лучше разобраться в этой задаче!