В △ NCD известно, что ∠ N = ∠ D, CH – медиана. Найдите наибольшие стороны в △ NHC и в △ DCH. Решение запишите.

Анализ:

• Дано △ NCD, где ∠ N = ∠ D. Это означает, что △ NCD — равнобедренный треугольник с основанием CD. Следовательно, стороны NC и ND равны.
• CH — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
• Значит, CH ⊥ ND, и ∠ NCH = ∠ DCH.

Решение:

• Рассмотрим △ NHC:
• ∠ NHC = 90° (так как CH – высота).
• ∠ NCH = ∠ N / 2 (так как CH – биссектриса).
• ∠ NCH < ∠ N.
• В прямоугольном треугольнике NHC наибольшей стороной является гипотенуза NC.
• Рассмотрим △ DCH:
• ∠ DHC = 90° (так как CH – высота).
• ∠ DCH = ∠ D / 2 (так как CH – биссектриса).
• ∠ DCH < ∠ D.
• В прямоугольном треугольнике DCH наибольшей стороной является гипотенуза CD.
• Сравним стороны NC и CD:
• Так как △ NCD равнобедренный (∠ N = ∠ D), то его боковые стороны равны: NC = ND.
• Медиана CH делит основание CD пополам, то есть CH = HD.
• В △ NHC: NC² = NH² + CH²
• В △ DCH: CD² = DH² + CH²
• Так как NC = ND, то NH = ND - HD = NC - CH (это неверное рассуждение).
• Правильное сравнение: поскольку △ NCD равнобедренный с основанием CD, то NC = ND.
• CH - медиана, значит NH = HD.
• Следовательно, △ NHC и △ DCH равны по двум катетам (NH = HD, CH - общий катет).
• Поэтому их гипотенузы также равны: NC = CD.
• Но нас просят найти наибольшие стороны в каждом из треугольников, а не сравнивать их между собой.
• В △ NHC наибольшая сторона - гипотенуза NC.
• В △ DCH наибольшая сторона - гипотенуза CD.
• И поскольку NC = ND, а CH - медиана, то NH = HD.
• Мы должны сравнить стороны NHC и DCH.
• ∠N = ∠D. CH - медиана, значит NH = HD.
• △NHC и △DHC равны по двум сторонам и углу между ними (NH=HD, CH=CH, ∠NHC = ∠DHC = 90°).
• Значит, NC = CD.
• Наибольшая сторона в △ NHC — это гипотенуза NC.
• Наибольшая сторона в △ DCH — это гипотенуза CD.
• Сравнивая NHC и DCH, мы видим, что они равны.
• Но нас спрашивают о НАИБОЛЬШИХ сторонах В КАЖДОМ из треугольников.
• В △ NHC, наибольшая сторона - гипотенуза NC.
• В △ DCH, наибольшая сторона - гипотенуза CD.
• Так как △ NCD равнобедренный (∠N=∠D), то NC = ND.
• CH - медиана, поэтому NH = HD.
• △ NHC и △ DHC равны по двум катетам (NH=HD, CH - общий катет).
• Следовательно, гипотенузы равны: NC = CD.
• Таким образом, наибольшая сторона в △ NHC - это NC, а наибольшая сторона в △ DCH - это CD.

Ответ:

• В △ NHC наибольшая сторона — NC.
• В △ DCH наибольшая сторона — CD.