1. В небе появилась и засверкала первая вечерняя звёздочка. В небе ярко сверкнула первая звёздочка, и в окнах домов замелькали огоньки.

1. В небе появилась и засверкала первая вечерняя звёздочка.

В данном предложении союз и соединяет однородные сказуемые (появилась и засверкала), поэтому запятая не нужна.

2. В небе ярко сверкнула первая звёздочка, и в окнах домов мелькали огоньки.

Это сложносочиненное предложение, которое состоит из двух простых, соединенных союзом и, перед которым ставится запятая.

Ответ:

• в первом предложении союз и соединяет однородные члены, поэтому запятая не нужна;
• во втором предложении запятая ставится перед союзом и, так как он соединяет простые предложения в составе сложного.