В некотором графе 12 рёбер. Две вершины имеют степень 5, а остальные вершины — степень 7. Сколько вершин степени 7 содержит граф?

По лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер. Пусть $$n_5$$ — число вершин степени 5, а $$n_7$$ — число вершин степени 7. Из условия известно, что $$n_5 = 2$$. Сумма степеней равна $$2 imes 12 = 24$$. Уравнение: $$5 imes n_5 + 7 imes n_7 = 24$$. Подставляем $$n_5 = 2$$: $$5 imes 2 + 7 imes n_7 = 24$$. $$10 + 7 imes n_7 = 24$$. $$7 imes n_7 = 14$$. $$n_7 = 2$$.