4. В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью р=0,5. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний наступит ровно 2 успеха.

Это задача на схему Бернулли. Вероятность ровно *k* успехов в *n* испытаниях Бернулли вычисляется по формуле:

$$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

где:

• (C_n^k) - число сочетаний из *n* по *k*, которое можно вычислить как (C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!})
• *p* - вероятность успеха в одном испытании
• *n* - количество испытаний
• *k* - количество успехов

В нашем случае: *n* = 4, *k* = 2, *p* = 0.5.

Сначала вычислим (C_4^2):

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

Теперь подставим значения в формулу:

$$P(X = 2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (1-0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$$

Ответ: 0.375