5. В одной окружности проведены диаметры АВ и СД. До- кажите, что AD || BC.

Пусть O – центр окружности. Рассмотрим четырехугольник ADBC.

Так как AB и CD – диаметры, то AO = OB = CO = OD = R (радиус окружности).

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. В этих треугольниках:

• AO = OB = R
• CO = OD = R
• ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные)

Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что ∠DAO = ∠OBC. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей AB. Значит, AD || BC.

Ответ: AD || BC.