В окружность вписан треугольник, причём центр окружности оказался внутри этого треугольника. Докажите, что данный треугольник остроугольный (рис. 20.57).

Если центр окружности, описанной около треугольника, находится внутри треугольника, это означает, что все углы треугольника острые. Рассмотрим доказательство от противного.

Предположим, что треугольник не является остроугольным, то есть он либо прямоугольный, либо тупоугольный.

• Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
• Если треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности лежит вне треугольника.

В обоих случаях, если треугольник не остроугольный, центр описанной окружности не может находиться внутри треугольника. Это противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, и треугольник обязательно остроугольный.