В окружности хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, \(\angle DKA = 60^\circ\), \(\angle DEK = \angle CFK = 90^\circ\), EF = 10 см. Найдите хорду CD.

Решение: 1. Проведем радиусы OD и OC. Так как OE \(\perp\) AD и OF \(\perp\) BC, то E и F - середины хорд AD и BC соответственно. 2. \(\angle DOK = 60^\circ\), значит, \(\angle KOF = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 3. Рассмотрим \(\triangle OEF\). Он равнобедренный, так как OE = OF (расстояния от центра до равных хорд). Следовательно, \(\angle OEF = \angle OFE = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ\). 4. Пусть OK = x, тогда OF = OK + EF = x + 10. 5. В \(\triangle ODE\): OE = OD \(\cdot\) cos(\(\angle ODE\)), где \(\angle ODE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 6. В \(\triangle OCF\): OF = OC \(\cdot\) cos(\(\angle OCF\)). Так как OD = OC = R, то OE = R \(\cdot\) cos(30) = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) и OF = R \(\cdot\) cos(30) = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\). 7. Тогда x = OE = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) и x + 10 = OF = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\). Но это невозможно, следовательно, решение неверно. Правильное решение: 1. Пусть O - центр окружности. Проведем перпендикуляры OE и OF к хордам AD и BC соответственно. Тогда E и F - середины хорд AD и BC. 2. Т.к. углы DEK и CFK прямые, то OE \(\perp\) AD и OF \(\perp\) BC. \(\angle DKA = 60^\circ\). 3. Проведем радиус OD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ODE. \(\angle DOE = 90^\circ - \angle ODE\). 4. Пусть радиус окружности равен R. Тогда OD = R. В треугольнике ODE: OE = OD \(\cdot\) cos(\(\angle ODE\)). 5. Рассмотрим треугольник OKA. \(\angle DKA = 60^\circ\). Тогда \(\angle DKO = 60^\circ\). 6. В прямоугольном треугольнике DEK: \(\angle EDK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Значит, \(\angle ODK = 30^\circ\). 7. В треугольнике ODE: OE = R \(\cdot\) cos(30) = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\). 8. OK = OE - KE. EF = 10. Значит, KE = OF - OE = 10. 9. \(\angle COF = 30^\circ\). OF = R \(\cdot\) cos(30) = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\). OK = OE - KE = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) - 10 10. Рассмотрим \(\triangle DOK\): sin(\(\angle DKO\)) = \(\frac{DO}{DK}\). DK = DO / sin(\(\angle DKO\)) = R / sin(60) = \(\frac{2R}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{2R\sqrt{3}}{3}\) 11. OK = DK \(\cdot\) cos(60) = \(\frac{2R\sqrt{3}}{3}\) \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{R\sqrt{3}}{3}\) 12. \(\frac{R\sqrt{3}}{3}\) = \(\frac{R\sqrt{3}}{2}\) - 10. Умножим на 6: 13. 2R\(\sqrt{3}\) = 3R\(\sqrt{3}\) - 60 14. R\(\sqrt{3}\) = 60 15. R = \(\frac{60}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{60\sqrt{3}}{3}\) = 20\(\sqrt{3}\) 16. CD = 2 \(\cdot\) DE. DE = OD \(\cdot\) sin(30) = R \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{R}{2}\) = \(\frac{20\sqrt{3}}{2}\) = 10\(\sqrt{3}\) 17. CD = 2 \(\cdot\) 10\(\sqrt{3}\) = 20\(\sqrt{3}\) см Ответ: 20\(\sqrt{3}\) см