В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. Центральный угол AOD равен 120°, а вписанный угол ACB равен 80°. Найдите градусную меру дуги DB.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах углов, связанных с окружностью.

1. Центральный угол AOD равен 120°. Это значит, что дуга AD, на которую он опирается, также равна 120°.

$$ дугаAD = 120° $$

2. Вписанный угол ACB равен 80°. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит, дуга AB равна удвоенному углу ACB.

$$ дугаAB = 2 * ∠ACB = 2 * 80° = 160° $$

3. Рассмотрим углы, образованные пересекающимися хордами AB и CD. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними.

$$ ∠AEC = \frac{дугаAD + дугаBC}{2} $$

Мы знаем, что угол AEC вертикальный с углом DEB, а также то, что угол DEB опирается на дуги DB и AC.

С другой стороны, угол ACB опирается на дугу AB, то есть дуга AB = 160°

4. Сумма углов вокруг точки E равна 360°, но это не поможет напрямую найти дугу DB. Вместо этого, воспользуемся тем, что вписанный угол ACB = 80° опирается на дугу AB = 160°. Угол между хордами AB и CD можно выразить через полусумму дуг, на которые они опираются, но у нас нет информации о дуге BC или AC.

5. Заметим, что дуга AC = 2 * ∠ADC, где ∠ADC - вписанный угол, опирающийся на дугу AC.

6. Рассмотрим четырехугольник ACBD. Сумма его углов равна 360°. Но это тоже не поможет нам напрямую найти дугу DB.

7. Нам известно, что ∠ACB = 80°. Также, ∠AOD = 120°. Из этого следует, что дуга AD = 120°.

Используем формулу для угла между пересекающимися хордами, чтобы найти дугу DB:

$$ ∠CEA = \frac{дугаAD + дугаBC}{2} $$

и

$$ ∠DEB = \frac{дугаDB + дугаAC}{2} $$

Так как ∠CEA = ∠DEB (вертикальные углы), получаем:

$$ дугаAD + дугаBC = дугаDB + дугаAC $$

Мы знаем, что дуга AD = 120° и дуга AB = 160°. Полная окружность - 360°.

Пусть дуга DB = x. Тогда ∠ACB = 80° опирается на дугу AB = 160°. Значит, ∠ADB опирается на дугу AB, и ∠ADB = ∠ACB = 80° (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

Теперь рассмотрим треугольник CEB. Угол CEB = 180° - ∠ECB - ∠EBC = 180° - 80° - ∠EBC.

Используем свойство: ∠CEA = (дуга AD + дуга BC) / 2 = ∠DEB = (дуга DB + дуга AC) / 2.

Тогда: дуга AD + дуга BC = дуга DB + дуга AC.

120° + дуга BC = x + (360° - 160° - x - 120°);

120° + дуга BC = x + 80° - x;

дуга BC = 80° - 120° = -40°. Что невозможно.

Другой подход: ∠ACB = 80° => дуга AB = 160°.

∠AOD = 120° => дуга AD = 120°.

∠CEA = (AD + BC)/2 и ∠DEB = (DB + AC)/2 и ∠CEA = ∠DEB.

=> AD + BC = DB + AC

120 + BC = DB + AC

И дуга всей окружности 360 = AD + DB + BC + CA - отсюда следует:

360 = 120 + DB + BC + CA

240 = DB + BC + CA

Выразим BC через AC и DB: BC = 240 - DB - CA

Подставим в первое уравнение:

120 + 240 - DB - CA = DB + AC

360 - DB - CA = DB + AC

360 = 2DB + 2AC

180 = DB + AC

AC = 180 - DB

Мы знаем, что дуга AB = 160, и тогда 360 = 160 + AC + CB

Пусть дуга DB = x. Тогда дуга AC = 180-x.

Угол ACB = 80, тогда дуга AB = 160. Угол между хордами = (AD+BC)/2 = (AC+DB)/2.

Пусть DB = x, тогда AC = 180-x, и BC = 360-160-AD-DB = 200-AD-x.

AD+BC = AC+DB

120 + 200-120-x = 180-x + x

200-x = 180 + x

20 = 2x

x = 10

Тогда, дуга DB = 20°

Ответ: 20°