В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что \(\angle\) BAC = \(\angle\) BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Доказательство:

Рассмотрим хорды AC и AD.

Угол \( \angle ABC \) — вписанный, опирается на дугу AC.

Угол \( \angle ABD \) — вписанный, опирается на дугу AD.

Нам дано, что \( \angle BAC = \angle BAD \).

Угол \( \angle BCA \) — вписанный, опирается на диаметр AB, значит \( \angle BCA = 90° \).

Угол \( \angle BDA \) — вписанный, опирается на диаметр AB, значит \( \angle BDA = 90° \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \). Оба треугольника прямоугольные.

В \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \) есть общая сторона AB.

Угол \( \angle BAC = \angle BAD \) (дано).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу, прилежащему к этому катету (или по двум углам и прилежащей стороне), \( \triangle ABC = \triangle ABD \).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Следовательно, \( AC = AD \).

Доказано.