23. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и COD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Дано: Окружность с центром O, хорды AB и CD, $$\angle AOB = \angle COD$$, OK \perp AB, OL \perp CD.

Доказать: OK = OL.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

В них:

OA = OC (как радиусы окружности),

OB = OD (как радиусы окружности),

$$\angle AOB = \angle COD$$ (по условию).

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

2. Из равенства треугольников AOB и COD следует, что AB = CD.

3. Рассмотрим треугольники AOK и COL.

В них:

$$\angle AKO = \angle CLO = 90^\circ$$ (так как OK и OL - перпендикуляры),

OA = OC (как радиусы окружности),

AK = CL (так как AB = CD, а перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам).

Следовательно, треугольники AOK и COL равны по гипотенузе и катету (по теореме Пифагора или по признаку равенства прямоугольных треугольников).

4. Из равенства треугольников AOK и COL следует, что OK = OL.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что OK = OL.