Моторная лодка прошла 96 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 14 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде. Запишите решение и ответ.

Пусть $$v$$ - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Тогда скорость лодки по течению реки равна $$v + 2$$ км/ч, а против течения $$v - 2$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{96}{v+2}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{96}{v-2}$$ часов. Общее время в пути составляет 14 часов, поэтому: $$\frac{96}{v+2} + \frac{96}{v-2} = 14$$ Умножим обе части уравнения на $$(v+2)(v-2)$$: $$96(v-2) + 96(v+2) = 14(v^2 - 4)$$ $$96v - 192 + 96v + 192 = 14v^2 - 56$$ $$192v = 14v^2 - 56$$ $$14v^2 - 192v - 56 = 0$$ Разделим на 2: $$7v^2 - 96v - 28 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-96)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 9216 + 784 = 10000 = 100^2$$ Найдем корни: $$v_1 = \frac{96 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{196}{14} = 14$$ $$v_2 = \frac{96 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 14$$ км/ч. Ответ: 14 км/ч.