24. В окружности с центром O проведены две равные хорды AB и CD. На эти хорды опущены перпендикуляры OL и OK (см. рис. 276). Докажите, что OL и OK равны.

Рассмотрим окружность с центром в точке O. Проведены две равные хорды AB и CD. На эти хорды опущены перпендикуляры OL и OK соответственно. Необходимо доказать, что OL = OK. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle OLA\) и \(\triangle OKC\). 2. \(OA = OC\) как радиусы окружности. 3. Так как OL и OK - перпендикуляры к хордам, то они делят хорды пополам. Следовательно, \(AL = \frac{1}{2}AB\) и \(CK = \frac{1}{2}CD\). 4. По условию \(AB = CD\), значит, \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD\), то есть \(AL = CK\). 5. Треугольники \(\triangle OLA\) и \(\triangle OKC\) прямоугольные, так как \(\angle OLA = \angle OKC = 90^\circ\). 6. Следовательно, \(\triangle OLA = \triangle OKC\) по гипотенузе и катету (OA = OC, AL = CK). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: \(OL = OK\). Что и требовалось доказать.