25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 104, а площадь равна 260, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC – меньшее основание, AD – большее основание. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы её противоположных сторон равны, то есть AB + CD = BC + AD. Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD. Следовательно, 2AB = BC + AD. Периметр трапеции равен P = AB + CD + BC + AD = 2(BC + AD) = 104. Отсюда BC + AD = 52, тогда 2AB = 52, и AB = 26. Площадь трапеции равна S = \(\frac{BC + AD}{2} \cdot h\) = 260. Так как BC + AD = 52, то \(\frac{52}{2} \cdot h\) = 260, откуда h = 10. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть r = h/2 = 5. Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции, а H – проекция точки O на основание BC. Тогда OH – искомое расстояние. Треугольники BOC и AOD подобны. Коэффициент подобия k = \(\frac{BC}{AD}\). Так как BC + AD = 52 и AD - BC = $$\sqrt{AB^2 - h^2}$$ = $$\sqrt{26^2 - 10^2}$$ = 24, находим BC = 14, AD = 38. Значит, k = \(\frac{14}{38}\) = \(\frac{7}{19}\). Высота трапеции состоит из высот подобных треугольников BOC и AOD, то есть h = h1 + h2, где h1 – высота треугольника BOC, а h2 – высота треугольника AOD. Так как треугольники подобны, то \(\frac{h_1}{h_2}\) = \(\frac{7}{19}\). Отсюда h2 = \(\frac{19}{7}\)h1. Значит, h = h1 + \(\frac{19}{7}\)h1 = \(\frac{26}{7}\)h1. Так как h = 10, то h1 = \(\frac{70}{26}\) = \(\frac{35}{13}\). Таким образом, расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно \(\frac{35}{13}\). Ответ: \(\frac{35}{13}\)