9. В окружности с центром в точке D проведены диаметры MS и ЕК, угол DKS равен 42°. Найдите величину угла DMЕ. Ответ дайте в градусах.

Разбираемся:

1. \( \angle MDE \) и \( \angle KDS \) - вертикальные углы, следовательно, \( \angle MDE = \angle KDS = 42^{\circ} \).
2. Треугольник \( \triangle MDE \) - равнобедренный, так как \( MD = DE \) как радиусы окружности.
3. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle DME = \angle DEM \).
4. Сумма углов треугольника равна 180 градусов: \( \angle DME + \angle DEM + \angle MDE = 180^{\circ} \).
5. \( 2 \cdot \angle DME + 42^{\circ} = 180^{\circ} \).
6. \( 2 \cdot \angle DME = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ} \).
7. \( \angle DME = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ} \).

Ответ: 69°