В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$. Угол $BCD = 67^\circ$. Найдите градусную меру угла $DAB$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. Дано: Окружность с центром в точке $O$, диаметры $AD$ и $BC$, $\angle BCD = 67^\circ$. Найти: $\angle DAB$. Решение: 1. Рассмотрим треугольник $COD$. Так как $OC$ и $OD$ - радиусы окружности, то $OC = OD$, и треугольник $COD$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle ODC = \angle OCD$. 2. Угол $OCD$ равен углу $BCD$, то есть $\angle OCD = 67^\circ$. Значит, и $\angle ODC = 67^\circ$. 3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому в треугольнике $COD$ имеем: $\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - (67^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. 4. Угол $AOD$ является смежным с углом $COD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому: $\angle AOD = 180^\circ - \angle COD = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$. 5. Теперь рассмотрим треугольник $AOD$. Так как $OA = OD$ (радиусы окружности), то треугольник $AOD$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle DAO = \angle ADO$. 6. Сумма углов в треугольнике $AOD$ равна $180^\circ$. Значит: $\angle DAO + \angle ADO + \angle AOD = 180^\circ$. Так как $\angle DAO = \angle ADO$, можем записать: $2 \cdot \angle DAO + 134^\circ = 180^\circ$. 7. Решаем уравнение для $\angle DAO$: $2 \cdot \angle DAO = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$. $\angle DAO = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$. 8. Угол $DAB$ равен углу $DAO$. Следовательно, $\angle DAB = 23^\circ$. Ответ: $\angle DAB = \bf{23^\circ}$. Развёрнутый ответ для школьника: Мы использовали свойства равнобедренных треугольников и смежных углов, а также теорему о сумме углов в треугольнике. Сначала мы нашли угол $COD$, затем угол $AOD$, и, наконец, смогли найти угол $DAB$. Важно помнить, что радиусы окружности равны, и это позволяет нам находить равные углы в равнобедренных треугольниках.